기초 미적분 예제

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

단계 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ 에 $\frac{81}{81}$ 을 곱합니다.

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

단계 1.2

조합합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

단계 2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

단계 3

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- \frac{1}{81}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

단계 3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

단계 3.2.2

$81$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

단계 3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

단계 3.3

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$81$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.2

$x^{2}$ 와 $\frac{2}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.3

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.3.2

$81$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.5

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.6

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$81$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

단계 4.8

유리근 정리르 이용하여 $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

단계 4.8.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

단계 4.8.3

$0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.1

$0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.2

$0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.3

$27$ 에 $0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.4

$0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.5

$- 18$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.6

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

단계 4.8.3.7

$6$ 에 $0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$- 1 + 2 - 1$

단계 4.8.3.8

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$1 - 1$

단계 4.8.3.9

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0$

단계 4.8.4

$0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

단계 4.8.5

$27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 을 $3 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

단계 4.8.5.2

피제수 $27 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

단계 4.8.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

단계 4.8.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $27 x^{3} - 9 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

단계 4.8.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

단계 4.8.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

단계 4.8.5.7

피제수 $- 9 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

단계 4.8.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

단계 4.8.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x^{2} + 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

단계 4.8.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

단계 4.8.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

단계 4.8.5.12

피제수 $3 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

단계 4.8.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

단계 4.8.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

단계 4.8.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

단계 4.8.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

단계 4.8.6

$27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

단계 5

$81 x - 27$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$81 x$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

단계 5.2

$- 27$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

단계 5.3

$27 (3 x) + 27 (- 1)$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

단계 6

$3 x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

단계 6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

단계 7

분수 $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 8

분수 $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 9

$9$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$9 x^{2}$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

단계 10

$- 3$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

단계 10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

단계 11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$