기초 미적분 예제

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

단계 1

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.2

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 3 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.2.4

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.2.5

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 3 u - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 2.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.8

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.8.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.9

$- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

$- 3 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

단계 2.1.9.2

$9 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

단계 2.1.9.3

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

단계 2.1.9.4

$3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

단계 2.1.9.5

$3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

단계 2.1.10

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

단계 2.1.11

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

단계 2.1.12

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.1.1

$3 u$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

단계 2.1.12.1.2

$3$ 를 $- 1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

단계 2.1.12.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

단계 2.1.12.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

단계 2.1.12.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

단계 2.1.12.3

최대공약수 $- u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

단계 2.1.13

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

단계 2.1.14

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

단계 2.1.15

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

단계 2.1.15.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 2.1.15.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 2.1.16

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.16.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 2.1.16.2

$3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.16.3

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.17

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.18

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.18.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.18.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.18.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.18.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.19

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

단계 2.1.20

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

단계 2.1.21

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

단계 2.1.22

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

단계 2.1.23

항을 다시 정렬합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

단계 2.1.24

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.24.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

단계 2.1.24.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

단계 2.1.24.1.2

최대공약수 $x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

단계 2.1.24.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.6

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.6.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.6.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.6.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.6.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 2.7

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

단계 3