기초 미적분 예제

$\sin^{2} (x) = 3 \cos^{2} (x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $3 \cos^{2} (x)$ 를 뺍니다.

$\sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $\sin^{2} (x)$ 를 $1 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$(1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) = 0$

단계 3

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $3 \cos^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$1 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

단계 4

다항식을 다시 정렬합니다.

$- 4 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

단계 5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$

단계 6

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 4 \cos^{2} (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 6.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 4}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

단계 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

단계 8

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

단계 8.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

단계 8.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 8.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

단계 9

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

단계 9.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 9.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

단계 10

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 11

$\cos (x) = \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

단계 11.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 11.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 11.4

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 11.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 11.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 11.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 11.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 11.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 11.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 11.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 11.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 11.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 12

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 12.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{2 π}{3}$

단계 12.3

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 12.4

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 12.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 12.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 12.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 12.4.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 π}{3}$

단계 12.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 12.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 12.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 12.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 12.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 13

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 14

해를 하나로 합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{π}{3} + 2 π n$ , $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ 를 $\frac{π}{3} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$

단계 14.2

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ , $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ 를 $\frac{2 π}{3} + π n$ 에 통합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$