기초 미적분 예제

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ 를 뺍니다.

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sec (x)$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

단계 2.2

$\sec (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

단계 3

항등식 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 를 사용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $\sec^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

단계 4

다항식을 다시 정렬합니다.

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

단계 5

$\sec (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

단계 6

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- \frac{3 u}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

단계 6.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

단계 6.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

단계 7

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 8

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = - 2$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.2.2

$- 8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 9.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

단계 9.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

단계 10

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 10.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 10.1.2.2

$- 8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

단계 10.1.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

단계 10.1.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 10.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

단계 10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

단계 10.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$u = \frac{3 + 5}{4}$

단계 10.4

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u = \frac{8}{4}$

단계 10.5

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$u = 2$

단계 11

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 11.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

단계 11.1.2.2

$- 8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

단계 11.1.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

단계 11.1.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 11.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

단계 11.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$u = \frac{3 - 5}{4}$

단계 11.4

$3$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$u = \frac{- 2}{4}$

단계 11.5

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

단계 11.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

단계 11.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

단계 11.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{- 1}{2}$

단계 11.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1}{2}$

단계 12

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

단계 13

$u$ 에 $\sec (x)$ 를 대입합니다.

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

단계 14

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

단계 15

$\sec (x) = 2$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

시컨트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 시컨트의 역을 취합니다.

$x = arcsec (2)$

단계 15.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$arcsec (2)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{π}{3}$

단계 15.3

시컨트 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

단계 15.4

$2 π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 15.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 15.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

단계 15.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

단계 15.4.3.2

$6 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{3}$

단계 15.5

$\sec (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 15.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 15.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 15.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 15.6

함수 $\sec (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$

단계 16

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $- \frac{1}{2}$ 이 이 영역에 속하지 않으므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 17

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$