기초 미적분 예제

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

단계 1

$x^{8}$ 을 ${(x^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

단계 2

$u = x^{4}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{4}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

단계 3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.1

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

단계 3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

단계 3.3

다항식을 다시 씁니다.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

단계 3.4

$a = u$ 이고 $b = 16$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(u - 16)}^{2} = 0$

단계 4

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

단계 6

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

단계 7

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 4$ 입니다.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

단계 8.2

인수분해합니다.

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단계 8.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

단계 8.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

단계 9

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 10

$(x^{2} + 4) (x + 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 11

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 12

${(x^{2} + 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

단계 12.2

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.2.1

$x^{2} + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 4 = 0$

단계 12.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.2.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 4$

단계 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

단계 12.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

단계 12.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

단계 12.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

단계 12.2.2.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

단계 12.2.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 2$

단계 12.2.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm 2 i$

단계 12.2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 12.2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 i$

단계 12.2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 i$

단계 12.2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i$

단계 13

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 13.2

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 13.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 14

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 14.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 14.2

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 14.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 14.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 15

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$