기초 미적분 예제

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) = \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 를 뺍니다.

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 는 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{3}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.3

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.4

$\frac{3 + x}{3}$ 에 $\frac{3 - x}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.5

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.6

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.2.6.1

$(3 + x) (3 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.6.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.6.3

분수 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.4

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.5

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.1.6.1

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.2

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.3

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6

${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ 을 $(3 + x) (3 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을(를) ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.6.6.5

간단히 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.7.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{3^{2} - x^{2}}} = 0$

단계 2.1.7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

단계 2.1.8

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - (\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}) = 0$

단계 2.1.9

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.1.9.1

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

단계 2.1.9.2

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

단계 2.1.9.3

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} = 0$

단계 2.1.9.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

단계 2.1.9.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} = 0$

단계 2.1.9.6

${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ 을 $(3 + x) (3 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 을(를) ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

단계 2.1.9.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

단계 2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

단계 2.1.9.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.9.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

단계 2.1.9.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} = 0$

단계 2.1.9.6.5

간단히 합니다.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} = 0$

단계 2.2

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ 에서 $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ 을 뺍니다.

$0 = 0$