기초 미적분 예제

$6 x^{2} - 7 x - 20$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{5}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.4.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.5

$3$ 와 $\frac{25}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.6

$3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

단계 4.1.7

$- 7 (\frac{5}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$- 7$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

단계 4.1.7.2

$- 7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

단계 4.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$75$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$- 20 + \frac{40}{2}$

단계 4.2.2.2

$40$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 20 + 20$

단계 4.2.2.3

$- 20$ 를 $20$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$\frac{5}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{5}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

단계 6.2

피제수 $(6)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

단계 6.3

제수 $(\frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(6)$ 을 곱하여 나온 값 $(15)$ 을 피제수 $(- 7)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

단계 6.5

제수 $(\frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(8)$ 을 곱하여 나온 값 $(20)$ 을 피제수 $(- 20)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

단계 6.7

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$(6) x + 8$

단계 6.8

몫 다항식을 간단히 합니다.

$6 x + 8$

단계 7

$6 x + 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

단계 7.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

단계 7.3

$2 (3 x) + 2 (4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

단계 8

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 8.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ 이고 합이 $b = - 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 8.1.1

$- 7 x$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

단계 8.1.2

$- 7$ 를 $8$ + $- 15$ 로 다시 씁니다.

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

단계 8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

단계 8.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

단계 8.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

단계 8.3

최대공약수 $3 x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

단계 10

$3 x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$3 x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 4 = 0$

단계 10.2

$3 x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$3 x = - 4$

단계 10.2.2

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{3}$

단계 10.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{4}{3}$

단계 11

$2 x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$2 x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 5 = 0$

단계 11.2

$2 x - 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$2 x = 5$

단계 11.2.2

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 11.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 11.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 12

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

단계 13