기초 미적분 예제

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{1}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

단계 4.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

단계 4.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

단계 4.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 + 2 - 1$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$1 - 1$

단계 4.2.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{1}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

단계 6.2

피제수 $(- 4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

단계 6.3

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 2)$ 을 피제수 $(4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

단계 6.5

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

단계 6.7

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$(- 4) x + 2$

단계 6.8

몫 다항식을 간단히 합니다.

$- 4 x + 2$

단계 7

$- 4 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

단계 7.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

단계 7.3

$2 (- 2 x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

$- 4 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

단계 8.1.2

$4 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

단계 8.1.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 8.1.4

$- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 8.1.5

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 8.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 8.2.1

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 8.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

단계 8.2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

단계 8.2.4

다항식을 다시 씁니다.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 8.2.5

$a = 2 x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

단계 9

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 9.2.2

${(2 x - 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

단계 9.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

단계 10

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 11

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 11.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 11.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 11.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 11.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 12