기초 미적분 예제

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 42$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 42$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 7, 6$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 4

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 5

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 6

$(x - 7) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, - 6$

단계 7

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 13 x + 42$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $42$ 이고 합은 $- 13$ 입니다.

$- 7, - 6$

단계 7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

단계 8

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

단계 9

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 9.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 10

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 11

$(x - 7) (x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, 6$

단계 12

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

단계 13

해를 하나로 합합니다.

$x = 7, - 6, 7, 6$

단계 14

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

단계 14.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 13 x + 42$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $42$ 이고 합은 $- 13$ 입니다.

$- 7, - 6$

단계 14.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

단계 14.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

단계 14.2.3

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 14.2.3.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 14.2.4

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.4.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 14.2.4.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 14.2.5

$(x - 7) (x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, 6$

단계 14.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

단계 15

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

단계 16

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 16.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

단계 16.1.3

좌변 $0.\overline{142857}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 16.2

$- 6 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$- 6 < x < 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 16.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

단계 16.2.3

좌변 $- 1$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 16.3

$6 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

$6 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6.5$

단계 16.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6.5$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

단계 16.3.3

좌변 $25$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 16.4

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 16.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

단계 16.4.3

좌변 $4$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 16.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 6$ 거짓

$6 < x < 7$ 참

$x > 7$ 참

$x < - 6$ 참

$- 6 < x < 6$ 거짓

$6 < x < 7$ 참

$x > 7$ 참

단계 17

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 6$ 또는 $6 < x < 7$ 또는 $x > 7$

단계 18

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

단계 19