기초 미적분 예제

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

단계 2.1.2

$6 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x = 0$

단계 2.1.3

$9 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9 = 0$

단계 2.1.4

$x \cdot x^{2} + x (6 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9 = 0$

단계 2.1.5

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

단계 2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

단계 2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x {(x + 3)}^{2} = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 5.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6

$x {(x + 3)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3$

단계 7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

단계 8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) < 0$

단계 8.1.3

좌변 $- 54$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.2

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

${(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) < 0$

단계 8.2.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.3

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} + 9 (2) < 0$

단계 8.3.3

좌변 $50$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

단계 9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 3$ 또는 $- 3 < x < 0$

단계 10

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$

단계 11