기초 미적분 예제

$x^{2} - 12 x + 3 < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 12 x + 3 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 12$ , $c = 3$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.3

$144$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4

$132$ 을 $2^{2} \cdot 33$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$132$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

단계 4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

단계 4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

단계 4.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

단계 5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.3

$144$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4

$132$ 을 $2^{2} \cdot 33$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$132$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

단계 5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

단계 5.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

단계 5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 6 + \sqrt{33}$

단계 6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 12$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.2.2

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.3

$144$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4

$132$ 을 $2^{2} \cdot 33$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$132$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

단계 6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

단계 6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

단계 6.3

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

단계 6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 6 - \sqrt{33}$

단계 7

해를 하나로 합합니다.

$x = 6 + \sqrt{33}, 6 - \sqrt{33}$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 6 - \sqrt{33}$

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

$x > 6 + \sqrt{33}$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x < 6 - \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x < 6 - \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 < 0$

단계 9.1.3

좌변 $3$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.2

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

${(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 3 < 0$

단계 9.2.3

좌변 $- 24$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 9.3

$x > 6 + \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$x > 6 + \sqrt{33}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 14$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $14$ 로 치환합니다.

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 + 3 < 0$

단계 9.3.3

좌변 $31$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 6 - \sqrt{33}$ 거짓

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ 참

$x > 6 + \sqrt{33}$ 거짓

$x < 6 - \sqrt{33}$ 거짓

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ 참

$x > 6 + \sqrt{33}$ 거짓

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

단계 11

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(6 - \sqrt{33}, 6 + \sqrt{33})$

단계 12