기초 미적분 예제

$f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$

단계 1

$f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = {(x^{5} + 1)}^{3}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = {(y^{5} + 1)}^{3}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(y^{5} + 1)}^{3} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

${(y^{5} + 1)}^{3} = x$

단계 3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y^{5} + 1 = \sqrt[3]{x}$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y^{5} = \sqrt[3]{x} - 1$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ 가 $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

단계 5.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

단계 5.2.4

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 1 - 1}$

단계 5.2.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

단계 5.2.6

$x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

단계 5.2.7

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})$ 값을 계산합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})}^{5} + 1)}^{3}$

단계 5.3.3

${\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}}^{5}$ 을 $\sqrt[3]{x} - 1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ 을(를) ${(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 1)}^{3}$

단계 5.3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 1)}^{3}$

단계 5.3.3.3

$\frac{1}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

단계 5.3.3.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

단계 5.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {((\sqrt[3]{x} - 1) + 1)}^{3}$

단계 5.3.3.5

간단히 합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} - 1 + 1)}^{3}$

단계 5.3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.4.1

$\sqrt[3]{x} - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

단계 5.3.4.1.2

$\sqrt[3]{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

단계 5.3.4.2

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 5.3.4.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 5.3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

단계 5.3.4.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

단계 5.3.4.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

단계 5.3.4.2.5

간단히 합니다.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ 은 $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$