기초 미적분 예제

$x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(1)}^{4} + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 10 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4.1.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 10 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 10 - 15 \cdot 1 - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4.1.5

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 10 - 15 - 40 \cdot 1 + 44$

단계 4.1.6

$- 40$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 10 - 15 - 40 + 44$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 를 $10$ 에 더합니다.

$11 - 15 - 40 + 44$

단계 4.2.2

$11$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$- 4 - 40 + 44$

단계 4.2.3

$- 4$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$- 44 + 44$

단계 4.2.4

$- 44$ 를 $44$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$1$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44}{x - 1}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

	$1$

단계 6.3

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(10)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$	$11$

단계 6.5

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(11)$ 을 곱하여 나온 값 $(11)$ 을 피제수 $(- 15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$	$- 4$

단계 6.7

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 4)$ 을 피제수 $(- 40)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

단계 6.9

제수 $(1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 44)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 44)$ 을 피제수 $(44)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (- 4) x - 44$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 11 x^{2} - 4 x - 44$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 1) (x^{3} + 11 x^{2}) - 4 x - 44$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 1) + x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

$(x - 1) x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

단계 8

최대공약수 $x + 11$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 4)$

단계 9

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 2^{2})$

단계 10

인수분해합니다.

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단계 10.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x - 1) + (x + 11) ((x + 2) (x - 2))$

단계 10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 1) + (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

단계 11

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 11.1

항을 다시 묶습니다.

$10 x^{3} - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.2

$10 x^{3} - 40 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.2.1

$10 x^{3}$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.2.2

$- 40 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.2.3

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4)$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.4

인수분해합니다.

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단계 11.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$10 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 44 = 0$

단계 11.6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 15 u + 44 = 0$

단계 11.7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 15 u + 44$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $44$ 이고 합은 $- 15$ 입니다.

$- 11, - 4$

단계 11.7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (u - 11) (u - 4) = 0$

단계 11.8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 4) = 0$

단계 11.9

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 11.10

인수분해합니다.

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단계 11.10.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 11.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 11.11

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.11.1

$10 x (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 11.11.2

$(x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11) = 0$

단계 11.11.3

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

단계 11.12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 2) (x - 2) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

단계 11.13

AC 방법을 이용하여 $10 u + u^{2} - 11$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.13.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 11$ 이고 합은 $10$ 입니다.

$- 1, 11$

단계 11.13.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

단계 11.14

인수분해합니다.

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단계 11.14.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

단계 11.14.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$

단계 12

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 11 = 0$

단계 13

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 13.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 14

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 14.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 15

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 15.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 16

$x + 11$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$x + 11$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 11 = 0$

단계 16.2

방정식의 양변에서 $11$ 를 뺍니다.

$x = - 11$

단계 17

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2, 1, - 11$

단계 18