기초 미적분 예제

$x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 16, \pm 18, \pm 24, \pm 36, \pm 48, \pm 72, \pm 144$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} + 36 (4) - 144$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 4$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 - 4 {(4)}^{2} + 36 (4) - 144$

단계 4.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$64 - 4 \cdot 16 + 36 (4) - 144$

단계 4.1.3

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$64 - 64 + 36 (4) - 144$

단계 4.1.4

$36$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$64 - 64 + 144 - 144$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$64$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$0 + 144 - 144$

단계 4.2.2

$0$ 를 $144$ 에 더합니다.

$144 - 144$

단계 4.2.3

$144$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$4$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144}{x - 4}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$

	$1$

단계 6.3

제수 $(4)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(4)$ 을 피제수 $(- 4)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$
	$1$	$0$

단계 6.5

제수 $(4)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(36)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$36$

단계 6.7

제수 $(4)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(36)$ 을 곱하여 나온 값 $(144)$ 을 피제수 $(- 144)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$	$144$
	$1$	$0$	$36$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$4$	$1$	$- 4$	$36$	$- 144$
		$4$	$0$	$144$
	$1$	$0$	$36$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + 0 x + 36$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} + 36$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

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단계 7.1

방정식의 양변에서 $36$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 36$

단계 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

단계 7.3

$\pm \sqrt{- 36}$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$- 36$ 을 $- 1 (36)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

단계 7.3.2

$\sqrt{- 1 (36)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

단계 7.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

단계 7.3.4

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

단계 7.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 6$

단계 7.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x = \pm 6 i$

단계 7.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 7.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 6 i$

단계 7.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 6 i$

단계 7.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 6 i, - 6 i$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x - 4) (x - 6 i) (x + 6 i)$

단계 9

다항식 $x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 144$ 의 근(해)입니다.

$x = 4, 6 i, - 6 i$

단계 10