기초 미적분 예제

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{1}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.7

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.8

$- 13$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.10

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.12

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.13.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.13.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.13.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.13.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.14

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

단계 4.1.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.15.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

단계 4.1.15.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

단계 4.1.15.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.2.2

$1$ 에서 $13$ 을 뺍니다.

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$32$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.2

$\frac{32}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.3

$\frac{32}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.4

$- 32$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.5

$\frac{- 32}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.6

$\frac{- 32}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

단계 4.3.7

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

단계 4.3.8

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

단계 4.3.9

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$32$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

단계 4.5.2

$- 32$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

단계 4.5.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$256$ 에서 $256$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

단계 4.6.2

$0$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{- 12 + 12}{8}$

단계 4.6.3

$- 12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{0}{8}$

단계 4.6.4

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$0$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{1}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

단계 6.3

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(- 13)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

단계 6.5

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 12)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

단계 6.7

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(64)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

단계 6.9

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(64)$ 을 곱하여 나온 값 $(32)$ 을 피제수 $(- 32)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

단계 7

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

단계 7.2

$- 12 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

단계 7.3

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

단계 7.4

$2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

단계 7.5

$2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

항을 다시 묶습니다.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 8.2

$64 x - 32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$64 x$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 8.2.2

$- 32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 8.2.3

$32 (2 x) + 32 (- 1)$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 8.3

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 8.3.2

$- 13 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

단계 8.3.3

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

단계 8.3.4

$x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

단계 8.3.5

$x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

단계 8.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ 이고 합이 $b = - 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1.1

$- 13 x$ 에서 $- 13$ 를 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

단계 8.4.1.1.2

$- 13$ 를 $- 1$ + $- 12$ 로 다시 씁니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

단계 8.4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

단계 8.4.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

단계 8.4.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

단계 8.4.1.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

단계 8.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

단계 8.5

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$32 (2 x - 1)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

단계 8.5.2

$x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

단계 8.5.3

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ 에서 $2 x - 1$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

단계 8.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

단계 8.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

단계 8.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

단계 8.7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

단계 8.8

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

단계 8.9

항을 다시 정렬합니다.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

단계 8.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

단계 8.10.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

단계 8.10.1.1.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1.1.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

단계 8.10.1.1.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

단계 8.10.1.1.3.3

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

단계 8.10.1.1.3.4

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 - 24 + 32$

단계 8.10.1.1.3.5

$- 8$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 32 + 32$

단계 8.10.1.1.3.6

$- 32$ 를 $32$ 에 더합니다.

$0$

단계 8.10.1.1.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

단계 8.10.1.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 8.10.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

단계 8.10.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 8.10.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 8.10.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

단계 8.10.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

단계 8.10.1.1.5.7

피제수 $- 8 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

단계 8.10.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

단계 8.10.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 8 x^{2} - 16 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

단계 8.10.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

단계 8.10.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 8.10.1.1.5.12

피제수 $16 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 8.10.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

단계 8.10.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $16 x + 32$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

단계 8.10.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

단계 8.10.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 8 x + 16$

단계 8.10.1.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

단계 8.10.1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

단계 8.10.1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 8.10.1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

단계 8.10.1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

단계 8.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 10

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 10.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 10.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 11

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 12

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 12.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 12.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 13

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

단계 14