기초 미적분 예제

$x^{4} + 10 x^{3} + 26 x^{2} + 10 x + 25$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(- 5)}^{4} + 10 {(- 5)}^{3} + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 5$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- 5$ 를 $4$ 승 합니다.

$625 + 10 {(- 5)}^{3} + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

단계 4.1.2

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$625 + 10 \cdot - 125 + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

단계 4.1.3

$10$ 에 $- 125$ 을 곱합니다.

$625 - 1250 + 26 {(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 25$

단계 4.1.4

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$625 - 1250 + 26 \cdot 25 + 10 (- 5) + 25$

단계 4.1.5

$26$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$625 - 1250 + 650 + 10 (- 5) + 25$

단계 4.1.6

$10$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$625 - 1250 + 650 - 50 + 25$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$625$ 에서 $1250$ 을 뺍니다.

$- 625 + 650 - 50 + 25$

단계 4.2.2

$- 625$ 를 $650$ 에 더합니다.

$25 - 50 + 25$

단계 4.2.3

$25$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$- 25 + 25$

단계 4.2.4

$- 25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 5$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} + 26 x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$

	$1$

단계 6.3

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 5)$ 을 피제수 $(10)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$
	$1$	$5$

단계 6.5

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(5)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 25)$ 을 피제수 $(26)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$

단계 6.7

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 5)$ 을 피제수 $(10)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$
	$1$	$5$	$1$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$
	$1$	$5$	$1$	$5$

단계 6.9

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(5)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 25)$ 을 피제수 $(25)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$	$5$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$1$	$10$	$26$	$10$	$25$
		$- 5$	$- 25$	$- 5$	$- 25$
	$1$	$5$	$1$	$5$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (1) x + 5$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{3} + 5 x^{2} + x + 5$

단계 7

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + x + 5$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 5) + x^{2} (x + 5) + 1 (x + 5)$

$(x + 5) x^{2} (x + 5) + 1 (x + 5)$

단계 8

최대공약수 $x + 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 5) (x + 5) (x^{2} + 1)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 9.1

항을 다시 묶습니다.

$10 x^{3} + 10 x + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

단계 9.2

$10 x^{3} + 10 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.1

$10 x^{3}$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) + 10 x + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

단계 9.2.2

$10 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) + 10 x (1) + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

단계 9.2.3

$10 x (x^{2}) + 10 x (1)$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 26 x^{2} + 25 = 0$

단계 9.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 26 x^{2} + 25 = 0$

단계 9.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$10 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 26 u + 25 = 0$

단계 9.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 26 u + 25$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $25$ 이고 합은 $26$ 입니다.

$1, 25$

단계 9.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$10 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 25) = 0$

단계 9.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$10 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25) = 0$

단계 9.7

$10 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.7.1

$10 x (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) (10 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25) = 0$

단계 9.7.2

$(x^{2} + 1) (10 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 25)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) (10 x + x^{2} + 25) = 0$

단계 9.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) (10 u + u^{2} + 25) = 0$

단계 9.9

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 9.9.1

항을 다시 배열합니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 10 u + 25) = 0$

단계 9.9.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 10 u + 5^{2}) = 0$

단계 9.9.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

단계 9.9.4

다항식을 다시 씁니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

단계 9.9.5

$a = u$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) {(u + 5)}^{2} = 0$

단계 9.10

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) {(x + 5)}^{2} = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

단계 11

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 11.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 11.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 11.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 11.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 11.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 12

${(x + 5)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 12.1

${(x + 5)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 5)}^{2} = 0$

단계 12.2

${(x + 5)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.2.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 12.2.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 13

$(x^{2} + 1) {(x + 5)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i, - 5$

단계 14