기초 미적분 예제

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = 2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

단계 4.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

단계 4.1.3

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

단계 4.1.4

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 - 24 + 24 - 8$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$8$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 16 + 24 - 8$

단계 4.2.2

$- 16$ 를 $24$ 에 더합니다.

$8 - 8$

단계 4.2.3

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$2$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

단계 6.3

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(2)$ 을 피제수 $(- 6)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

단계 6.5

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 8)$ 을 피제수 $(12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

단계 6.7

제수 $(2)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(8)$ 을 피제수 $(- 8)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} - 4 x + 4$

단계 7

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 7.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

단계 7.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 7.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

단계 7.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

단계 8.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 8.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

단계 8.1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

단계 8.1.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

단계 8.1.3.4

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

단계 8.1.3.5

$8$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

단계 8.1.3.6

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 16 + 24 - 8$

단계 8.1.3.7

$- 16$ 를 $24$ 에 더합니다.

$8 - 8$

단계 8.1.3.8

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0$

단계 8.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

단계 8.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

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단계 8.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

단계 8.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

단계 8.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

단계 8.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

단계 8.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

단계 8.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

단계 8.1.5.7

피제수 $- 4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

단계 8.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

단계 8.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{2} + 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

단계 8.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

단계 8.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

단계 8.1.5.12

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

단계 8.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

단계 8.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x - 8$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

단계 8.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

단계 8.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 4 x + 4$

단계 8.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

단계 8.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

단계 8.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 8.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

단계 8.2.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 8.3

유사한 인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 8.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

단계 8.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

${(x - 2)}^{3} = 0$

단계 9

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 10

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 11