기초 미적분 예제

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{1}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.4.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.5

$5$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.6

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.8

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.9

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.9.1

$52$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.9.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.9.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.9.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.10

$13$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.11

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.13

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.14

$- 45$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.16

$5$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

단계 4.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$5$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

단계 4.2.2.2

$13$ 를 $5$ 에 더합니다.

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

단계 4.3

공통분모를 구합니다.

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단계 4.3.1

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

단계 4.3.2

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

단계 4.3.3

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

단계 4.3.4

$\frac{18}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.3.5

$\frac{18}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 4.3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

단계 4.5.2

$4$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$\frac{- 36 + 36}{4}$

단계 4.5.3

$- 36$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{0}{4}$

단계 4.5.4

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{1}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

단계 6.2

피제수 $(20)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

단계 6.3

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(20)$ 을 곱하여 나온 값 $(10)$ 을 피제수 $(52)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

단계 6.5

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(62)$ 을 곱하여 나온 값 $(31)$ 을 피제수 $(- 45)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

단계 6.7

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 14)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 7)$ 을 피제수 $(5)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

단계 6.9

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

단계 6.11

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

단계 6.12

몫 다항식을 간단히 합니다.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

단계 7

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1

$20 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

단계 7.2

$62 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

단계 7.3

$- 14 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

단계 7.4

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

단계 7.5

$2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

단계 7.6

$2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

단계 7.7

$2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 8.1

유리근 정리르 이용하여 $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

단계 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

단계 8.1.3

$- 0.1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 8.1.3.1

$- 0.1$ 을 다항식에 대입합니다.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.2

$- 0.1$ 를 $4$ 승 합니다.

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.3

$20$ 에 $0.0001$ 을 곱합니다.

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.4

$- 0.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.5

$52$ 에 $- 0.001$ 을 곱합니다.

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.6

$0.002$ 에서 $0.052$ 을 뺍니다.

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.7

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.8

$- 45$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.9

$- 0.05$ 에서 $0.45$ 을 뺍니다.

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

단계 8.1.3.10

$5$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$- 0.5 - 0.5 + 1$

단계 8.1.3.11

$- 0.5$ 에서 $0.5$ 을 뺍니다.

$- 1 + 1$

단계 8.1.3.12

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0$

단계 8.1.4

$- 0.1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $10 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

단계 8.1.5

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 을 $10 x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 8.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

단계 8.1.5.2

피제수 $20 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $10 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

단계 8.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 8.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $20 x^{4} + 2 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 8.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

단계 8.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

단계 8.1.5.7

피제수 $50 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $10 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

단계 8.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

단계 8.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $50 x^{3} + 5 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

단계 8.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

단계 8.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

단계 8.1.5.12

피제수 $- 50 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $10 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

단계 8.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

단계 8.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 50 x^{2} - 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

단계 8.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

단계 8.1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

단계 8.1.5.17

피제수 $10 x$ 의 고차항을 제수 $10 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

단계 8.1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

단계 8.1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $10 x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

단계 8.1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

단계 8.1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

단계 8.1.6

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

단계 8.2

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 8.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5$

단계 8.2.1.3

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.3.1

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.2

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.3

$2$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.4

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.5

$5$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.6

$0.25$ 를 $1.25$ 에 더합니다.

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

단계 8.2.1.3.7

$- 5$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$1.5 - 2.5 + 1$

단계 8.2.1.3.8

$1.5$ 에서 $2.5$ 을 뺍니다.

$- 1 + 1$

단계 8.2.1.3.9

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0$

단계 8.2.1.4

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

단계 8.2.1.5

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

단계 8.2.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

단계 8.2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 8.2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 8.2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

단계 8.2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

단계 8.2.1.5.7

피제수 $6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

단계 8.2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

단계 8.2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{2} - 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

단계 8.2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

단계 8.2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

단계 8.2.1.5.12

피제수 $- 2 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

단계 8.2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

단계 8.2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

단계 8.2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

단계 8.2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 3 x - 1$

단계 8.2.1.6

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

단계 8.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

단계 10

$10 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$10 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$10 x + 1 = 0$

단계 10.2

$10 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$10 x = - 1$

단계 10.2.2

$10 x = - 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$10 x = - 1$ 의 각 항을 $10$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{10}$

단계 10.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{10}$

단계 11

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 11.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 11.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 11.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 11.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 12

$x^{2} + 3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x^{2} + 3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

단계 12.2

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 12.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 3$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.3.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.4.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.4.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.4.5

$\sqrt{13}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

단계 12.2.4.6

$- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

단계 12.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.5.1.3

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

단계 12.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.5.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.5.5

$- \sqrt{13}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

단계 12.2.5.6

$- 1 (3) - (\sqrt{13})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

단계 12.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 12.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 13

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

소수 형태:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

단계 15