기초 미적분 예제

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 - 48$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 3$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 - 48$

단계 4.1.2

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 + 3 \cdot 9 - 16 \cdot - 3 - 48$

단계 4.1.3

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 27 + 27 - 16 \cdot - 3 - 48$

단계 4.1.4

$- 16$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 27 + 27 + 48 - 48$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 27$ 를 $27$ 에 더합니다.

$0 + 48 - 48$

단계 4.2.2

$0$ 를 $48$ 에 더합니다.

$48 - 48$

단계 4.2.3

$48$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$0$

단계 5

$- 3$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48}{x + 3}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$

단계 6.2

피제수 $(1)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$

	$1$

단계 6.3

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 3)$ 을 피제수 $(3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$
	$1$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$
	$1$	$0$

단계 6.5

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(0)$ 을 곱하여 나온 값 $(0)$ 을 피제수 $(- 16)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 16$

단계 6.7

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 16)$ 을 곱하여 나온 값 $(48)$ 을 피제수 $(- 48)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$	$48$
	$1$	$0$	$- 16$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$	$48$
	$1$	$0$	$- 16$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$1 x^{2} + 0 x - 16$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$x^{2} - 16$

단계 7

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) x^{2} - 4^{2}$

단계 8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(x + 3) (x + 4) (x - 4)$

단계 9

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 16 x - 48 = 0$

단계 9.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{2} (x + 3) - 16 (x + 3) = 0$

단계 9.2

최대공약수 $x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 3) (x^{2} - 16) = 0$

단계 9.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

단계 9.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(x + 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 9.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

단계 10

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 11

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 12

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 12.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 13

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 13.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 14

$(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, - 4, 4$

단계 15