기초 미적분 예제

$f (x) = - x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$

단계 1

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

$- x^{6}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} x^{4} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

단계 2.1.1.2

$3 x^{4}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 4 x^{2} = 0$

단계 2.1.1.3

$4 x^{2}$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

단계 2.1.1.4

$- x^{2} (x^{4}) - x^{2} (- 3 x^{2})$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

단계 2.1.1.5

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} (- 4)$ 에서 $- x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) = 0$

단계 2.1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) = 0$

단계 2.1.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- x^{2} (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

단계 2.1.4

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 3 u - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 2.1.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- x^{2} ((u - 4) (u + 1)) = 0$

단계 2.1.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- x^{2} ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) = 0$

단계 2.1.6

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{2} ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) = 0$

단계 2.1.7

인수분해합니다.

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단계 2.1.7.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- x^{2} ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

단계 2.1.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.3

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.3.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.5

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.6

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.6.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.6.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.6.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.6.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.6.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 2.7

$- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2, i, - i$

단계 3