기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

단계 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

단계 2.1.2

$- 8 x^{3} - 8 x$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$- 8 x^{3}$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 8 x$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

단계 2.1.2.3

$- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ 에서 $- 8 x$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

단계 2.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

단계 2.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

단계 2.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 17 u + 16$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $16$ 이고 합은 $17$ 입니다.

$1, 16$

단계 2.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

단계 2.1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

단계 2.1.7

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.7.1

$- 8 x (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

단계 2.1.7.2

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

단계 2.1.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

단계 2.1.9

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.9.1

항을 다시 배열합니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

단계 2.1.9.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

단계 2.1.9.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

단계 2.1.9.4

다항식을 다시 씁니다.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

단계 2.1.9.5

$a = u$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

단계 2.1.10

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 2.3.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 2.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 2.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 2.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 2.4

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.4.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.4.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.5

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i, 4$

단계 3