기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$

단계 1

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.2

$6 x^{3} - 54 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$6 x^{3}$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 54 x$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.2.3

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ 에서 $6 x$ 를 인수분해합니다.

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 16 x^{2} + 63 = 0$

단계 2.1.6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 16 u + 63 = 0$

단계 2.1.7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 16 u + 63$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $63$ 이고 합은 $- 16$ 입니다.

$- 9, - 7$

단계 2.1.7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 7) = 0$

단계 2.1.8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.9

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.11

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.11.1

$6 x (x + 3) (x - 3)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.11.2

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ 에서 $(x + 3) (x - 3)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

단계 2.1.13

AC 방법을 이용하여 $6 u + u^{2} - 7$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 7$ 이고 합은 $6$ 입니다.

$- 1, 7$

단계 2.1.13.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

단계 2.1.14

인수분해합니다.

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단계 2.1.14.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

단계 2.1.14.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

단계 2.3

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$x + 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x + 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 7 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 2.7

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 3, 3, 1, - 7$

단계 3