기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

단계 1

x절편을 구합니다.

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단계 1.1

x절편을 구하려면 $y$ 에 $0$ 을 대입하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

$0 = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

단계 1.2

식을 풉니다.

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단계 1.2.1

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 180, \pm 2, \pm 90, \pm 3, \pm 60, \pm 4, \pm 45, \pm 5, \pm 36, \pm 6, \pm 30, \pm 9, \pm 20, \pm 10, \pm 18, \pm 12, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 180, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 1.5, \pm 60, \pm 30, \pm 4, \pm 22.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 36, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 4.5, \pm 20, \pm 10, \pm 12, \pm 7.5$

단계 1.2.2.1.3

$- 4$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 4$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.2.2.1.3.1

$- 4$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.2

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot - 64 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.3

$2$ 에 $- 64$ 을 곱합니다.

$- 128 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.4

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 128 - 5 \cdot 16 - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.5

$- 5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 128 - 80 - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.6

$- 128$ 에서 $80$ 을 뺍니다.

$- 208 - 97 \cdot - 4 - 180$

단계 1.2.2.1.3.7

$- 97$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 208 + 388 - 180$

단계 1.2.2.1.3.8

$- 208$ 를 $388$ 에 더합니다.

$180 - 180$

단계 1.2.2.1.3.9

$180$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.2.2.1.4

$- 4$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 4$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180}{x + 4}$

단계 1.2.2.1.5

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ 을 $x + 4$ 로 나눕니다.

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단계 1.2.2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$97 x$

$180$

단계 1.2.2.1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$

단계 1.2.2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

단계 1.2.2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 8 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

단계 1.2.2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

단계 1.2.2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

단계 1.2.2.1.5.7

피제수 $- 13 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

단계 1.2.2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					-	$13 x^{2}$	-	$52 x$

단계 1.2.2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 13 x^{2} - 52 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$

단계 1.2.2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$

단계 1.2.2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

단계 1.2.2.1.5.12

피제수 $- 45 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

단계 1.2.2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							-	$45 x$	-	$180$

단계 1.2.2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 45 x - 180$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$

단계 1.2.2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$
										$0$

단계 1.2.2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} - 13 x - 45$

단계 1.2.2.1.6

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

단계 1.2.2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 45 = - 90$ 이고 합이 $b = - 13$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1.1

$- 13 x$ 에서 $- 13$ 를 인수분해합니다.

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

단계 1.2.2.2.1.1.2

$- 13$ 를 $5$ + $- 18$ 로 다시 씁니다.

$(x + 4) (2 x^{2} + (5 - 18) x - 45) = 0$

단계 1.2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 4) (2 x^{2} + 5 x - 18 x - 45) = 0$

단계 1.2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 4) ((2 x^{2} + 5 x) - 18 x - 45) = 0$

단계 1.2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 4) (x (2 x + 5) - 9 (2 x + 5)) = 0$

단계 1.2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 4) ((2 x + 5) (x - 9)) = 0$

단계 1.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 9 = 0$

단계 1.2.4

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 1.2.5

$2 x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$2 x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 5 = 0$

단계 1.2.5.2

$2 x + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$2 x = - 5$

단계 1.2.5.2.2

$2 x = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$2 x = - 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 1.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

단계 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{2}$

단계 1.2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 1.2.6

$x - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 1.2.7

$(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, - \frac{5}{2}, 9$

단계 1.3

점 형태의 x절편입니다.

x절편: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

단계 2

Y절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

y절편을 구하려면 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.4

$2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.4.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.4.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.4.1.4

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 - 97 \cdot 0 - 180$

단계 2.2.4.1.5

$- 97$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 - 180$

단계 2.2.4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 - 180$

단계 2.2.4.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 - 180$

단계 2.2.4.2.3

$0$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$y = - 180$

단계 2.3

점 형태의 y절편입니다.

y절편: $(0, - 180)$

단계 3

교집합을 나열합니다.

x절편: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

y절편: $(0, - 180)$

단계 4