기초 미적분 예제

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

단계 1

x절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

x절편을 구하려면 $y$ 에 $0$ 을 대입하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

단계 1.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

항을 다시 묶습니다.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

단계 1.2.2.2

$10 x^{3} - 130 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$10 x^{3}$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

단계 1.2.2.2.2

$- 130 x$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

단계 1.2.2.2.3

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ 에서 $10 x$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

단계 1.2.2.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

단계 1.2.2.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ 이고 합이 $b = - 144$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1.1

$- 144 u$ 에서 $- 144$ 를 인수분해합니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

단계 1.2.2.5.1.2

$- 144$ 를 $- 1$ + $- 143$ 로 다시 씁니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

단계 1.2.2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

단계 1.2.2.5.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

단계 1.2.2.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

단계 1.2.2.5.3

최대공약수 $11 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

단계 1.2.2.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

단계 1.2.2.7

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ 에서 $x^{2} - 13$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.7.1

$10 x (x^{2} - 13)$ 에서 $x^{2} - 13$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

단계 1.2.2.7.2

$(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ 에서 $x^{2} - 13$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

단계 1.2.2.7.3

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ 에서 $x^{2} - 13$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

단계 1.2.2.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

단계 1.2.2.9

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

단계 1.2.2.9.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ 이고 합이 $b = 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.2.1

$10 u$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

단계 1.2.2.9.2.2

$10$ 를 $- 1$ + $11$ 로 다시 씁니다.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

단계 1.2.2.9.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

단계 1.2.2.9.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.9.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

단계 1.2.2.9.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

단계 1.2.2.9.4

최대공약수 $11 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

단계 1.2.2.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

단계 1.2.2.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 1.2.4

$x^{2} - 13$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2} - 13$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 13 = 0$

단계 1.2.4.2

$x^{2} - 13 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

방정식의 양변에 $13$ 를 더합니다.

$x^{2} = 13$

단계 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

단계 1.2.4.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{13}$

단계 1.2.4.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{13}$

단계 1.2.4.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

단계 1.2.5

$11 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$11 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$11 x - 1 = 0$

단계 1.2.5.2

$11 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$11 x = 1$

단계 1.2.5.2.2

$11 x = 1$ 의 각 항을 $11$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$11 x = 1$ 의 각 항을 $11$ 로 나눕니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

단계 1.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

단계 1.2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{11}$

단계 1.2.6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.7

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

단계 1.3

점 형태의 x절편입니다.

x절편: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

단계 2

Y절편을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

y절편을 구하려면 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.3

괄호를 제거합니다.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.4

괄호를 제거합니다.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5

$11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.2

$11$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.4

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.6

$- 144$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

단계 2.2.5.1.7

$- 130$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

단계 2.2.5.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

단계 2.2.5.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 0 + 13$

단계 2.2.5.2.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0 + 13$

단계 2.2.5.2.4

$0$ 를 $13$ 에 더합니다.

$y = 13$

단계 2.3

점 형태의 y절편입니다.

y절편: $(0, 13)$

단계 3

교집합을 나열합니다.

x절편: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

y절편: $(0, 13)$

단계 4