기초 미적분 예제

$p (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 x^{2}}{x^{3} - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} - 1 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{3} = 1$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{3} - 1 = 0$

단계 2.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

단계 2.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

단계 2.3.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

단계 2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

단계 2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$x^{2} + x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x^{2} + x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + x + 1 = 0$

단계 2.6.2

$x^{2} + x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.6.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.4.5

$i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

단계 2.6.2.4.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

단계 2.6.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.3

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.5.5

$- i \sqrt{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

단계 2.6.2.5.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

단계 2.6.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.6.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.7

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 1}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty)$

조건제시법:

${y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, 1) \cup (1, \infty), {x | x \neq 1}$

치역: $[- \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}, \infty), {y | y \geq - \frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}}$

단계 6