기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

단계 2.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ 을(를) ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 2.2.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 2.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

단계 2.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{3} + 8 = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x^{3} = - 8$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x^{3} + 8 = 0$

단계 2.3.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} + 2^{3} = 0$

단계 2.3.3.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

단계 2.3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

단계 2.3.3.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

단계 2.3.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

단계 2.3.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.3.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.3.6

$x^{2} - 2 x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x^{2} - 2 x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

단계 2.3.6.2

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3.6.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 4$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.3.6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 2.3.6.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.4.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.3.6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 2.3.6.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 1 + i \sqrt{3}$

단계 2.3.6.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.5.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.6.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 2.3.6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 2.3.6.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 1 - i \sqrt{3}$

단계 2.3.6.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

단계 2.3.7

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 2}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

조건제시법:

${y | y \neq 5}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

치역: $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

단계 6