기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 8 x + 15}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $15$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 5, - 3$

단계 2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.3

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.5

$(x - 5) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, 3$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 3, 5}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1] \cup [27, \infty)$

조건제시법:

${y | y \leq - 1, y \geq 27}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty), {x | x \neq 3, 5}$

치역: $(- \infty, - 1] \cup [27, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 27}$

단계 6