기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + x + 16 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 16$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.3

$1$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.4

$- 63$ 을 $- 1 (63)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.7

$63$ 을 $3^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.7.1

$63$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.3

$1$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.4

$- 63$ 을 $- 1 (63)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.7

$63$ 을 $3^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.7.1

$63$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.4.5

$3 i \sqrt{7}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

단계 2.4.6

$- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

단계 2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.3

$1$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.4

$- 63$ 을 $- 1 (63)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (63)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.7

$63$ 을 $3^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.7.1

$63$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.5.5

$- 3 i \sqrt{7}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

단계 2.5.6

$- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

단계 2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

단계 3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

조건제시법:

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

단계 5

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

치역: $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

단계 6