기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$

단계 1

$f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{4 x}{9 x - 5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{4 y}{9 y - 5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $9 y - 5$ 을 곱합니다.

$(9 y - 5) (x) = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 y x - 5 x = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$9 y - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$9 y x - 5 x = \frac{4 y}{9 y - 5} (9 y - 5)$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$9 y x - 5 x = 4 y$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$9 y x - 5 x - 4 y = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $5 x$ 를 더합니다.

$9 y x - 4 y = 5 x$

단계 3.4.3

$9 y x - 4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$9 y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (9 x) - 4 y = 5 x$

단계 3.4.3.2

$- 4 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (9 x) + y \cdot - 4 = 5 x$

단계 3.4.3.3

$y (9 x) + y \cdot - 4$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (9 x - 4) = 5 x$

단계 3.4.4

$y (9 x - 4) = 5 x$ 의 각 항을 $9 x - 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$y (9 x - 4) = 5 x$ 의 각 항을 $9 x - 4$ 로 나눕니다.

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$9 x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{5 x}{9 x - 4}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ 가 $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{9 x - 5})}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

단계 5.2.3

$5$ 와 $\frac{4 x}{9 x - 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

단계 5.2.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$9 \frac{4 x}{9 x - 5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$9$ 와 $\frac{4 x}{9 x - 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{9 (4 x)}{9 x - 5} - 4}$

단계 5.2.4.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4}$

단계 5.2.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4 \cdot \frac{9 x - 5}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.3

$- 4$ 와 $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} + \frac{- 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.5.1

$36 x - 4 (9 x - 5)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.5.1.1

$36 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.1.2

$- 4 (9 x - 5)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.1.3

$4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x) + 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.4

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.5

$9 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.5.6

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 \cdot 5}{9 x - 5}}$

단계 5.2.4.6

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

단계 5.2.5

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

단계 5.2.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

단계 5.2.7

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 (x)}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

단계 5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

단계 5.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

단계 5.2.8

$9 x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

단계 5.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{5 x}{9 x - 4})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{4 (\frac{5 x}{9 x - 4})}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

단계 5.3.3

$4$ 와 $\frac{5 x}{9 x - 4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

단계 5.3.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$9 \frac{5 x}{9 x - 4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$9$ 와 $\frac{5 x}{9 x - 4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{9 (5 x)}{9 x - 4} - 5}$

단계 5.3.4.1.2

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5}$

단계 5.3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5 \cdot \frac{9 x - 4}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.3

$- 5$ 와 $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} + \frac{- 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5

인수분해된 형태로 $\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1

$45 x - 5 (9 x - 4)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.5.1.1

$45 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.1.2

$- 5 (9 x - 4)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.1.3

$5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x) + 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.5

$9 x$ 에서 $9 x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (0 + 4)}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.5.6

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 \cdot 4}{9 x - 4}}$

단계 5.3.4.6

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

단계 5.3.5

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

단계 5.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

단계 5.3.7

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

$20 x$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 (x)}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

단계 5.3.7.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

단계 5.3.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

단계 5.3.8

$9 x - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

단계 5.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ 은 $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$