기초 미적분 예제

$f (x) = \log_{3} (x) - 1$

단계 1

$f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \log_{3} (x) - 1$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \log_{3} (y) - 1$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$\log_{3} (y) - 1 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\log_{3} (y) - 1 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\log_{3} (y) = x + 1$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\log_{3} (y) = x + 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$3^{x + 1} = y$

단계 3.4

$y = 3^{x + 1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = 3^{x + 1}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ 가 $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{(\log_{3} (x) - 1) + 1}$

단계 5.2.3

$(\log_{3} (x) - 1) + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.2.3.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x) + 0}$

단계 5.2.3.2

$\log_{3} (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = 3^{\log_{3} (x)}$

단계 5.2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (\log_{3} (x) - 1) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (3^{x + 1})$ 값을 계산합니다.

$f (3^{x + 1}) = \log_{3} (3^{x + 1}) - 1$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $x + 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \log_{3} (3) - 1$

단계 5.3.3.2

$3$ 에 밑이 $3$ 인 로그를 취하면 $1$ 이 됩니다.

$f (3^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

단계 5.3.3.3

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (3^{x + 1}) = x + 1 - 1$

단계 5.3.4

$x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.3.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (3^{x + 1}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (3^{x + 1}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$ 은 $f (x) = \log_{3} (x) - 1$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 3^{x + 1}$