기초 미적분 예제

$f (x) = e^{x - 2}$

단계 1

$f (x) = e^{x - 2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = e^{x - 2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{y - 2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$e^{y - 2} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{y - 2} = x$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (x)$

단계 3.3

왼편을 확장합니다.

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단계 3.3.1

$y - 2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y - 2})$ 을 전개합니다.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (x)$

단계 3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (x)$

단계 3.3.3

$y - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - 2 = \ln (x)$

단계 3.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = \ln (x) + 2$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$ 가 $f (x) = e^{x - 2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{x - 2})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $x - 2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

단계 5.2.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

단계 5.2.3.3

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

단계 5.2.4

$x - 2 + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.2.4.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (x) + 2)$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (x) + 2) = e^{(\ln (x) + 2) - 2}$

단계 5.3.3

$(\ln (x) + 2) - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\ln (x) + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

단계 5.3.3.2

$\ln (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (x) + 2) = e^{\ln (x)}$

단계 5.3.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (x) + 2) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$ 은 $f (x) = e^{x - 2}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$