기초 미적분 예제

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

단계 1

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - 2 x^{2} + 3$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = - 2 y^{2} + 3$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 2 y^{2} + 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 2 y^{2} + 3 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 2 y^{2} = x - 3$

단계 3.3

$- 2 y^{2} = x - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 2 y^{2} = x - 3$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

단계 3.3.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

단계 3.5

$\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

단계 3.5.2

$\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

단계 3.5.3

$\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 3.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 3.5.4.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 3.5.4.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 3.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 3.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 3.5.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 3.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

단계 3.5.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

단계 3.5.6

$\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 가 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 3]$

단계 5.3

$\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 (- x + 3)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 (- x + 3) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2 (- x + 3) \geq 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$2 (- x + 3) \geq 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.2.1.2

$- x + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

단계 5.3.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- x + 3 \geq 0$

단계 5.3.2.2

부등식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 3$

단계 5.3.2.3

$- x \geq - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- x \geq - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.3.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

단계 5.3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 3$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 3]$

단계 5.4

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 의 정의역이 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 의 치역이 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ 은 $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

단계 6