기초 미적분 예제

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

단계 1

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \sqrt{y} + 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.2.1.4

간단히 합니다.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(x - 3)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

${(x - 3)}^{2}$ 을 $(x - 3) (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

단계 3.4.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

단계 3.4.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

단계 3.4.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

단계 3.4.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

단계 3.4.3.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

단계 3.4.3.1.3.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

단계 3.4.3.1.3.2

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

단계 3.5

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$- 6$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1.1

$- 6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

단계 3.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ 가 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

단계 5.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

단계 5.2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

단계 5.2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

단계 5.2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

단계 5.2.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3.3

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3.5

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

단계 5.2.5.3.6

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

단계 5.2.5.4

$- 18$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

단계 5.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

$u = \sqrt{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\sqrt{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1.1

$12 u$ 에서 $12 u$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

단계 5.2.6.1.2

$4 u^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

단계 5.2.6.1.3

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

단계 5.2.6.1.4

$4 u^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

단계 5.2.6.2

$u$ 를 모두 $\sqrt{x}$ 로 바꿉니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

단계 5.2.6.3

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

단계 5.2.6.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

단계 5.2.6.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

단계 5.2.6.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

단계 5.2.6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.2.6.3.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.2.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.2.7.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

단계 5.3.3

괄호를 제거합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

단계 5.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

단계 5.3.4.1.2

$\frac{x^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{x}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

단계 5.3.4.1.3

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

단계 5.3.4.1.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

단계 5.3.4.1.5

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

단계 5.3.4.1.6

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

단계 5.3.4.1.7

다항식을 다시 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

단계 5.3.4.1.8

$a = \frac{x}{2}$ 이고 $b = \frac{3}{2}$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

단계 5.3.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

단계 5.3.4.3

$\frac{x - 3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

단계 5.3.4.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

단계 5.3.4.5

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

단계 5.3.4.6

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

단계 5.3.4.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

단계 5.3.4.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.8.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

단계 5.3.4.8.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

단계 5.3.5

$x - 3 + 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

단계 5.3.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ 은 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$