기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 4$

단계 1

$f (x) = 2 x^{3} - 4$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 2 x^{3} - 4$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 2 y^{3} - 4$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 y^{3} - 4 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 y^{3} - 4 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$2 y^{3} = x + 4$

단계 3.3

$2 y^{3} = x + 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$2 y^{3} = x + 4$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{2} + 2$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$

단계 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.5.2

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$

단계 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$

단계 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.5.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.5.7.2

$\sqrt[3]{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

단계 3.5.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

단계 3.5.7.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

단계 3.5.7.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.5.7.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

단계 3.5.7.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

단계 3.5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

단계 3.5.8.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{4}}{2}$

단계 3.5.9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$

단계 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 가 $f (x) = 2 x^{3} - 4$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (2 x^{3} - 4)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 4) + 4)}}{2}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

단계 5.2.3.2

$2 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

단계 5.2.3.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.4

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.5

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})}^{3} - 4$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}$ 을 $4 (x + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4 (x + 4)}$ 을(를) ${(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.1.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 16}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.4

$4 x + 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.4.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 16}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.4.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.2.4.3

$4 x + 4 \cdot 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

단계 5.3.3.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{8}) - 4$

단계 5.3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 (4)}) - 4$

단계 5.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 \cdot 4}) - 4$

단계 5.3.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

단계 5.3.3.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

단계 5.3.3.5.2

$x + 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 4 - 4$

단계 5.3.4

$x + 4 - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ 은 $f (x) = 2 x^{3} - 4$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$