기초 미적분 예제

$f (x) = 5 x^{2}$

단계 1

$f (x) = 5 x^{2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 5 x^{2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 5 y^{2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5 y^{2} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 y^{2} = x$

단계 3.2

$5 y^{2} = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$5 y^{2} = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{x}{5}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt{\frac{x}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 3.4.3.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 3.4.3.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 3.4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 3.4.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 3.4.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

단계 3.4.4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

단계 3.4.5

$\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 가 $f (x) = 5 x^{2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = 5 x^{2}$ 및 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = 5 x^{2}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 5.3

$\frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{5 x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$5 x \geq 0$

단계 5.3.2

$5 x \geq 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$5 x \geq 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$x \geq 0$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[0, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = 5 x^{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 의 정의역이 $f (x) = 5 x^{2}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 의 치역이 $f (x) = 5 x^{2}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$ 은 $f (x) = 5 x^{2}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 x}}{5}, - \frac{\sqrt{5 x}}{5}$

단계 6