기초 미적분 예제

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

단계 1

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

단계 3.2

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 의 각 항을 $500$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ 의 각 항을 $500$ 로 나눕니다.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$500$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

단계 3.2.2.1.2

${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

단계 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{x}{500}$ 을 ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$x$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

단계 3.4.1.2

$500$ 에서 완전제곱인 $10^{2}$ 인수를 묶습니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

단계 3.4.1.3

분수 $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ 를 다시 정렬합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

단계 3.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

단계 3.4.3

$\sqrt{\frac{x}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.4

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

단계 3.4.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 3.4.5.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 3.4.5.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 3.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 3.4.5.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 3.4.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

단계 3.4.6

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$\frac{1}{10}$ 에 $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

단계 3.4.7.2

$10$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

단계 3.4.8

$\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

단계 3.5.3

방정식의 양변에 $- 50$ 을 곱합니다.

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.1

$- 50 (- \frac{y}{50})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.1.1

$50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.1.1.1

$- \frac{y}{50}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.1.1.1.2

$- 50$ 에서 $50$ 를 인수분해합니다.

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.1.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1

$- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2.1.2

$50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1.2.1

$- 50$ 에서 $50$ 를 인수분해합니다.

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.4.2.1.3

$- 50$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

단계 3.5.5

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

단계 3.5.6

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

단계 3.5.7

방정식의 양변에 $- 50$ 을 곱합니다.

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1.1

$- 50 (- \frac{y}{50})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1.1.1

$50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1.1.1.1

$- \frac{y}{50}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.1.1.1.2

$- 50$ 에서 $50$ 를 인수분해합니다.

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.1.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.1.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.1.1.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.1.1.2.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

단계 3.5.8.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.2.1

$- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.2

$50$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.2.1.2.1

$- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.2.2

$- 50$ 에서 $50$ 를 인수분해합니다.

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.3.2

$\sqrt{5 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

단계 3.5.8.2.1.3.3

$- 50$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt{5 x} + 50$

단계 3.5.9

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 가 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 및 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 범위를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

단계 5.3

$- \sqrt{5 x} + 50$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{5 x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$5 x \geq 0$

단계 5.3.2

$5 x \geq 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$5 x \geq 0$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \geq \frac{0}{5}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$x \geq 0$

단계 5.3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$[0, \infty)$

단계 5.4

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 5.5

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 의 정의역이 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 치역이고 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 의 치역이 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 정의역이므로 $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ 은 $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

단계 6