기초 미적분 예제

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

단계 1

$f (x) = 6 x^{3} - 8$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 6 x^{3} - 8$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 6 y^{3} - 8$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 y^{3} - 8 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$6 y^{3} - 8 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$6 y^{3} = x + 8$

단계 3.3

$6 y^{3} = x + 8$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$6 y^{3} = x + 8$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

단계 3.3.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

단계 3.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

단계 3.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

단계 3.5

$\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.5.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

단계 3.5.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

단계 3.5.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

단계 3.5.5

$\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

단계 3.5.6

$\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

단계 3.5.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

단계 3.5.7.2

$\sqrt[3]{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

단계 3.5.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

단계 3.5.7.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

단계 3.5.7.5

${\sqrt[3]{6}}^{3}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 3.5.7.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.7.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

단계 3.5.7.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

단계 3.5.7.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

단계 3.5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

${\sqrt[3]{6}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{6^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

단계 3.5.8.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

단계 3.5.9

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.9.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

단계 3.5.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 가 $f (x) = 6 x^{3} - 8$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

단계 5.2.3.2

$6 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

단계 5.2.3.3

$36$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

단계 5.2.3.4

$216 x^{3}$ 을 ${(6 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

단계 5.2.3.5

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

단계 5.2.4

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ 을 $36 (x + 8)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ 을(를) ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.1.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.3

$36$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.4

$36 x + 288$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.4.1

$36 x$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.4.2

$288$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.2.4.3

$36 x + 36 \cdot 8$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

단계 5.3.3.3

$6$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

단계 5.3.3.4

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

$216$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

단계 5.3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

단계 5.3.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

단계 5.3.3.5

$36$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

단계 5.3.3.5.2

$x + 8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

단계 5.3.4

$x + 8 - 8$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ 은 $f (x) = 6 x^{3} - 8$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$