기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

단계 1

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

단계 3.2

양변에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

단계 3.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

단계 3.3.1.1.2

$3$ 와 $- 8 y^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

단계 3.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

단계 3.4.2

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$ 의 각 항을 $- 8$ 로 나눕니다.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.1

$2$ 및 $- 8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.1.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1.1.2.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

단계 3.4.2.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

단계 3.4.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

단계 3.4.4

$\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

단계 3.4.4.2

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$\frac{x}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

단계 3.4.4.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

단계 3.4.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

단계 3.4.4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

단계 3.4.4.5

$\frac{- 2 x + 3}{8}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.5.1

$- 2 x + 3$ 에서 완전제곱인 $1^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

단계 3.4.4.5.2

$8$ 에서 완전제곱인 $2^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

단계 3.4.4.5.3

분수 $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

단계 3.4.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

단계 3.4.4.7

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ 가 $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

단계 5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

단계 5.2.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

단계 5.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

단계 5.2.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

단계 5.2.3.4

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

단계 5.2.3.5

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

단계 5.2.3.6

$8 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.7

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.8

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ 을(를) ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

단계 5.3.3.2

$\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

단계 5.3.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

단계 5.3.3.3.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

단계 5.3.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

단계 5.3.3.3.2

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

단계 5.3.3.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

단계 5.3.3.5

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

$- 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

단계 5.3.3.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

단계 5.3.3.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

단계 5.3.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

단계 5.3.3.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

단계 5.3.3.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

단계 5.3.3.9

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

단계 5.3.3.10

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.3.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ 은 $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$