기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

단계 1

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식에 $y^{2} + y - 2$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

단계 3.3.1.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

단계 3.3.1.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

단계 3.3.1.1.4

$a = y$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

단계 3.3.1.2

AC 방법을 이용하여 $y^{2} + y - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 3.3.1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

단계 3.3.1.3

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ 에 $y^{2} + y - 2$ 을 곱합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

단계 3.3.1.4

AC 방법을 이용하여 $y^{2} + y - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 3.3.1.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

단계 3.3.1.5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

단계 3.3.1.5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

단계 3.3.1.5.2

$y + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

단계 3.3.1.5.2.2

${(y + 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

단계 3.3.1.5.3

${(y + 1)}^{2}$ 을 $(y + 1) (y + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

단계 3.3.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(y + 1) (y + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

단계 3.3.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

단계 3.3.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

단계 3.3.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.7.1.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

단계 3.3.1.7.1.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

단계 3.3.1.7.1.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

단계 3.3.1.7.1.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

단계 3.3.1.7.2

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$y$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

단계 3.4.1.2

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

단계 3.4.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.4.4

이차함수의 근의 공식에 $a = x - 1$ , $b = x - 2$ , $c = - 2 x - 1$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.3

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.5.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.5.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.7

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.9.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.9.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.3

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.5

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.1.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.9.2

$4 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.10

$x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.11

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.12

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.13

$9 x^{2} - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.14

$9 x^{2} - 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.14.1

$9 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.14.2

$- 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.5.14.3

$x (9 x) + x \cdot - 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.3

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.4

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.5

$\sqrt{x (9 x - 8)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.6

$- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.7

$- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ 을 $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.6.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.3

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.5.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.5.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.7

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1.9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1.9.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1.9.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.3

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.5

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.1.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.9.2

$4 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.10

$x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.11

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.12

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.13

$9 x^{2} - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.14

$9 x^{2} - 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.7.1.14.1

$9 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.14.2

$- 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.1.14.3

$x (9 x) + x \cdot - 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.2

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.4

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.5

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.6

$- \sqrt{x (9 x - 8)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.7

$- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.8

$- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ 을 $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.7.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 3.4.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 가 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고 그 반대도 마찬가지입니다. $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 및 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 의 정의역과 치역을 구하여 비교합니다.

단계 5.2

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 의 범위를 구합니다.

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단계 5.2.1

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

단계 5.3

$- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 5.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x (9 x - 8)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x (9 x - 8) \geq 0$

단계 5.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

단계 5.3.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.3.2.3

$9 x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.2.3.1

$9 x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$9 x - 8 = 0$

단계 5.3.2.3.2

$9 x - 8 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$9 x = 8$

단계 5.3.2.3.2.2

$9 x = 8$ 의 각 항을 $9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.3.2.2.1

$9 x = 8$ 의 각 항을 $9$ 로 나눕니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

단계 5.3.2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.3.2.2.2.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

단계 5.3.2.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{8}{9}$

단계 5.3.2.4

$x (9 x - 8) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{8}{9}$

단계 5.3.2.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

단계 5.3.2.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.6.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.6.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 5.3.2.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

단계 5.3.2.6.1.3

좌변 $52$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 5.3.2.6.2

$0 < x < \frac{8}{9}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 5.3.2.6.2.1

$0 < x < \frac{8}{9}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0.44$

단계 5.3.2.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0.44$ 로 치환합니다.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

단계 5.3.2.6.2.3

좌변 $- 1.7776$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.3.2.6.3

$x > \frac{8}{9}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 5.3.2.6.3.1

$x > \frac{8}{9}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 5.3.2.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

단계 5.3.2.6.3.3

좌변 $57$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 5.3.2.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 참

$0 < x < \frac{8}{9}$ 거짓

$x > \frac{8}{9}$ 참

$x < 0$ 참

$0 < x < \frac{8}{9}$ 거짓

$x > \frac{8}{9}$ 참

단계 5.3.2.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq 0$ 또는 $x \geq \frac{8}{9}$

단계 5.3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 (x - 1) = 0$

단계 5.3.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$2 (x - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$2 (x - 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.3.4.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 5.3.4.1.2.1.2

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 1 = \frac{0}{2}$

단계 5.3.4.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.3.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.3.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5.4

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 의 정의역이 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 의 치역이 아니면 $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ 는 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ 의 역함수가 아닙니다.

역함수가 없음

단계 6