기초 미적분 예제

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

단계 1

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$e^{3 y - 5} - 2 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$3 y - 5$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{3 y - 5})$ 을 전개합니다.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

단계 3.4.3

$3 y - 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

단계 3.5

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

단계 3.6

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 3.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 3.6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 가 $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 5.2.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

단계 5.2.3.1.2

$e^{3 x - 5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

단계 5.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

단계 5.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $3 x - 5$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

단계 5.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

단계 5.2.4.3

$3 x - 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

단계 5.2.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$3 x - 5 + 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1.1

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

단계 5.2.5.1.2

$3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

단계 5.2.5.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

단계 5.2.5.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

$\frac{\ln (x + 2)}{3}$ 을 $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ 을 간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.3

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 와 $3$ 을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.1.1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ 을 간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.1.2

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.1.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.5.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.1.3

간단히 합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

단계 5.3.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

단계 5.3.3.2

$\ln (x + 2) + 5 - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

단계 5.3.3.2.2

$\ln (x + 2)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

단계 5.3.3.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

단계 5.3.4

$x + 2 - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ 은 $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$