기초 미적분 예제

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

단계 1

$f (x) = 6 \log (x) - 3$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 6 \log (x) - 3$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 6 \log (y) - 3$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 \log (y) - 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$6 \log (y) - 3 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$6 \log (y) = x + 3$

단계 3.3

$6 \log (y) = x + 3$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$6 \log (y) = x + 3$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

단계 3.3.2.1.2

$\log (y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

단계 3.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

단계 3.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

단계 3.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

단계 3.5

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 가 $f (x) = 6 \log (x) - 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$6 \log (x) - 3$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$6 \log (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.1.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.1.3

$3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.1.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.4.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.3.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \log (x)$ 을 간단히 합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

단계 5.2.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

단계 5.2.4.2

$\log (x^{2}) - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

단계 5.2.4.2.2

$\log (x^{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

단계 5.2.5

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\log (x^{2})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

단계 5.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

단계 5.2.6.2

$\log (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

단계 5.2.7

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ 값을 계산합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

단계 5.3.3.2

$10$ 에 밑이 $10$ 인 로그를 취하면 $1$ 이 됩니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

단계 5.3.3.3

$\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

단계 5.3.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

단계 5.3.3.5

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

단계 5.3.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

단계 5.3.3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

단계 5.3.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

단계 5.3.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

단계 5.3.4

$x + 3 - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ 은 $f (x) = 6 \log (x) - 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$