기초 미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

단계 1

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다.

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단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

단계 2

$x = - 1$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ 에 조립제법을 적용합니다.

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단계 2.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 2.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 2.3

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 4)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

단계 2.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

단계 2.5

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 16)$ 을 곱하여 나온 값 $(16)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

단계 2.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

단계 2.7

제수 $(- 1)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(15)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 15)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

단계 2.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

단계 2.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

단계 2.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

단계 3

$- 1 < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- 1$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- 1$

단계 4

$x = - 3$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ 에 조립제법을 적용합니다.

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단계 4.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 4.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 4.3

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 12)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

단계 4.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

단계 4.5

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 24)$ 을 곱하여 나온 값 $(72)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

단계 4.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

단계 4.7

제수 $(- 3)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(71)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 213)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

단계 4.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

단계 4.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

단계 4.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

단계 5

$- 3 < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- 3$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- 3$

단계 6

$x = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 6.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 6.3

제수 $(- \frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 6)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

단계 6.5

제수 $(- \frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 18)$ 을 곱하여 나온 값 $(27)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

단계 6.7

제수 $(- \frac{3}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(26)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 39)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

단계 6.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

단계 7

$- \frac{3}{2} < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- \frac{3}{2}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- \frac{3}{2}$

단계 8

$x = 5$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 8.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 8.3

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(20)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

단계 8.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

단계 8.5

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(8)$ 을 곱하여 나온 값 $(40)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

단계 8.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

단계 8.7

제수 $(5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(39)$ 을 곱하여 나온 값 $(195)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

단계 8.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

단계 8.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

단계 9

$5 > 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 모두 +이므로, $5$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

상계: $5$

단계 10

$x = - 5$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 10.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 10.3

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 20)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

단계 10.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

단계 10.5

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 32)$ 을 곱하여 나온 값 $(160)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

단계 10.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

단계 10.7

제수 $(- 5)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(159)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 795)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

단계 10.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

단계 10.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

단계 10.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

단계 11

$- 5 < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- 5$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- 5$

단계 12

$x = - \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 12.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 12.3

제수 $(- \frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 10)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

단계 12.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

단계 12.5

제수 $(- \frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 22)$ 을 곱하여 나온 값 $(55)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

단계 12.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

단계 12.7

제수 $(- \frac{5}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(54)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 135)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

단계 12.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

단계 12.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

단계 12.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

단계 13

$- \frac{5}{2} < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- \frac{5}{2}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- \frac{5}{2}$

단계 14

$x = - \frac{5}{4}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 14.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 14.3

제수 $(- \frac{5}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 5)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

단계 14.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

단계 14.5

제수 $(- \frac{5}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 17)$ 을 곱하여 나온 값 $(\frac{85}{4})$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

단계 14.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

단계 14.7

제수 $(- \frac{5}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(\frac{81}{4})$ 을 곱하여 나온 값 $(- \frac{405}{16})$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

단계 14.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

단계 14.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

단계 14.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

단계 15

$- \frac{5}{4} < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- \frac{5}{4}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- \frac{5}{4}$

단계 16

$x = 15$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 16.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 16.3

제수 $(15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(60)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

단계 16.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

단계 16.5

제수 $(15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(48)$ 을 곱하여 나온 값 $(720)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

단계 16.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

단계 16.7

제수 $(15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(719)$ 을 곱하여 나온 값 $(10785)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

단계 16.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

단계 16.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

단계 17

$15 > 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 모두 +이므로, $15$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

상계: $15$

단계 18

$x = - 15$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 18.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 18.3

제수 $(- 15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 60)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

단계 18.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

단계 18.5

제수 $(- 15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 72)$ 을 곱하여 나온 값 $(1080)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

단계 18.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

단계 18.7

제수 $(- 15)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1079)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 16185)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

단계 18.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

단계 18.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

단계 18.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

단계 19

$- 15 < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- 15$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- 15$

단계 20

$x = \frac{15}{2}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 20.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 20.3

제수 $(\frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(30)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

단계 20.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

단계 20.5

제수 $(\frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(18)$ 을 곱하여 나온 값 $(135)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

단계 20.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

단계 20.7

제수 $(\frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(134)$ 을 곱하여 나온 값 $(1005)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

단계 20.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

단계 20.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

단계 20.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

단계 21

$\frac{15}{2} > 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 모두 +이므로, $\frac{15}{2}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

상계: $\frac{15}{2}$

단계 22

$x = - \frac{15}{2}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 22.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 22.3

제수 $(- \frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 30)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

단계 22.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

단계 22.5

제수 $(- \frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 42)$ 을 곱하여 나온 값 $(315)$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

단계 22.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

단계 22.7

제수 $(- \frac{15}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(314)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 2355)$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

단계 22.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

단계 22.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

단계 22.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

단계 23

$- \frac{15}{2} < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- \frac{15}{2}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- \frac{15}{2}$

단계 24

$x = \frac{15}{4}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 24.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 24.3

제수 $(\frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(15)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

단계 24.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

단계 24.5

제수 $(\frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(3)$ 을 곱하여 나온 값 $(\frac{45}{4})$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

단계 24.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

단계 24.7

제수 $(\frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(\frac{41}{4})$ 을 곱하여 나온 값 $(\frac{615}{16})$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

단계 24.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

단계 24.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

단계 24.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

단계 25

$\frac{15}{4} > 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 모두 +이므로, $\frac{15}{4}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

상계: $\frac{15}{4}$

단계 26

$x = - \frac{15}{4}$ 일 때 $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ 에 조립제법을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 26.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

단계 26.2

피제수 $(4)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

단계 26.3

제수 $(- \frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(4)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 15)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

단계 26.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

단계 26.5

제수 $(- \frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 27)$ 을 곱하여 나온 값 $(\frac{405}{4})$ 을 피제수 $(- 1)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

단계 26.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

단계 26.7

제수 $(- \frac{15}{4})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(\frac{401}{4})$ 을 곱하여 나온 값 $(- \frac{6015}{16})$ 을 피제수 $(15)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

단계 26.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

단계 26.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

단계 26.10

몫 다항식을 간단히 합니다.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

단계 27

$- \frac{15}{4} < 0$ 이고 조립제법의 맨 아래 행의 부호가 번갈아 바뀌므로, $- \frac{15}{4}$ 이 함수의 실근에 대한 하계입니다.

하한계: $- \frac{15}{4}$

단계 28

상계와 하계를 구합니다.

상계: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

하한계: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

단계 29