기초 미적분 예제

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 \cdot 5 - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\sqrt{20 - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{20 - 1 \cdot 4}$

단계 5.3.3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{20 - 4}$

단계 5.3.3.4

$20$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\sqrt{16}$

단계 5.3.3.5

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{4^{2}}$

단계 5.3.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$4$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 2 \sqrt{5})$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, 2 \sqrt{5})$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (2 \sqrt{5}))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - 2 \sqrt{5})$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 4)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, 4)$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (4))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - 4)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$2 \sqrt{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 5 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{20 - 2^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{20 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.6

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{20 - 4}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.7

$20$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{16}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.8

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.1.9

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$2 \sqrt{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.3

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 8.3.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 8.3.4.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 8.3.4.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 8.3.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 8.3.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 8.3.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

이심률: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

단계 10