기초 미적분 예제

$9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 5.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 5.3.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 5.3.4

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

단계 5.3.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

단계 5.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

단계 5.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

단계 5.3.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $36$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.9.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

단계 5.3.9.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

단계 5.3.9.3

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

단계 5.3.9.4

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

단계 5.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

단계 5.3.11

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

단계 5.3.12

$\sqrt{\frac{5}{36}}$ 을 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

단계 5.3.13

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.3.13.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

단계 5.3.13.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

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단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + \frac{1}{2})$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, \frac{1}{2})$

단계 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (\frac{1}{2}))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - \frac{1}{2})$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

단계 7

초점을 찾습니다.

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단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{5}}{6})$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

단계 8

이심률을 구합니다.

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단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

단계 8.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

단계 8.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

단계 8.3.5

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

단계 8.3.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

단계 8.3.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

단계 8.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

단계 8.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

단계 8.3.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $36$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.10.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

단계 8.3.10.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

단계 8.3.10.3

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

단계 8.3.10.4

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

단계 8.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

단계 8.3.12

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

단계 8.3.13

$\sqrt{\frac{5}{36}}$ 을 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

단계 8.3.14

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.14.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

단계 8.3.14.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

단계 8.3.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.15.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

단계 8.3.15.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

단계 8.3.15.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

이심률: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

단계 10