기초 미적분 예제

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

단계 1

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

단계 1.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

단계 1.3

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1.1

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3.1.1.2.4

$2 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

단계 1.3.3.1.2

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

단계 2

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

단계 2.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

단계 2.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

단계 2.1.1.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

단계 2.1.1.3.2.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = 1 \cdot 4$

단계 2.1.1.3.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = 4$

단계 2.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

단계 2.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

단계 2.1.1.4.2.1.2

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

단계 2.1.1.4.2.1.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 2 - \frac{4}{1}$

단계 2.1.1.4.2.1.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e = 2 - 1 \cdot 4$

단계 2.1.1.4.2.1.5

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 2 - 4$

단계 2.1.1.4.2.2

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 2$

단계 2.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ 에 대입합니다.

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

단계 2.1.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

단계 2.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

단계 2.3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 2.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(- 4, - 2)$

단계 2.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 2.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

단계 2.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

단계 2.5.3.2

숫자를 나누어 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.2.1

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{1}$

단계 2.5.3.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1$

단계 2.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 2.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 4, - 1)$

단계 2.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = - 4$

단계 2.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 2.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - 3$

단계 2.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 4, - 2)$

초점: $(- 4, - 1)$

대칭축: $x = - 4$

준선: $y = - 3$

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 4, - 2)$

초점: $(- 4, - 1)$

대칭축: $x = - 4$

준선: $y = - 3$

단계 3

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 2$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 2$

단계 3.2.1.2

$36$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 2$

단계 3.2.1.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f (- 6) = 9 - 12 + 2$

단계 3.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$9$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (- 6) = - 3 + 2$

단계 3.2.2.2

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 6) = - 1$

단계 3.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 3.3

$x = - 6$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 3.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 2$

단계 3.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 2$

단계 3.5.1.2

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 2$

단계 3.5.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 10$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 2$

단계 3.5.2.2

$\frac{- 10}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

단계 3.5.2.3

$\frac{- 10}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 2$

단계 3.5.2.4

$2$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

단계 3.5.2.5

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 3.5.2.6

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 3.5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$- 10$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 3.5.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 8}{4}$

단계 3.5.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

$25$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = \frac{- 15 + 8}{4}$

단계 3.5.5.2

$- 15$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (- 5) = \frac{- 7}{4}$

단계 3.5.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 5) = - \frac{7}{4}$

단계 3.5.6

최종 답은 $- \frac{7}{4}$ 입니다.

$- \frac{7}{4}$

단계 3.6

$x = - 5$ 일 때 $y$ 의 값은 $- \frac{7}{4}$ 입니다.

$y = - \frac{7}{4}$

단계 3.7

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 2$

단계 3.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 2$

단계 3.8.1.2

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 2$

단계 3.8.1.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 1 - 4 + 2$

단계 3.8.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 3 + 2$

단계 3.8.2.2

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 1$

단계 3.8.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 3.9

$x = - 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 1$ 입니다.

$y = - 1$

단계 3.10

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 2$

단계 3.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 2$

단계 3.11.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 2$

단계 3.11.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.1

$- 6$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 2$

단계 3.11.2.2

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

단계 3.11.2.3

$\frac{- 6}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2$

단계 3.11.2.4

$2$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

단계 3.11.2.5

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 3.11.2.6

$\frac{2}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

단계 3.11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 3.11.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.4.1

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 2 \cdot 4}{4}$

단계 3.11.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 8}{4}$

단계 3.11.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.5.1

$9$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = \frac{- 15 + 8}{4}$

단계 3.11.5.2

$- 15$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (- 3) = \frac{- 7}{4}$

단계 3.11.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 3) = - \frac{7}{4}$

단계 3.11.6

최종 답은 $- \frac{7}{4}$ 입니다.

$- \frac{7}{4}$

단계 3.12

$x = - 3$ 일 때 $y$ 의 값은 $- \frac{7}{4}$ 입니다.

$y = - \frac{7}{4}$

단계 3.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

단계 4

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- 4, - 2)$

초점: $(- 4, - 1)$

대칭축: $x = - 4$

준선: $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

단계 5