기초 미적분 예제

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

단계 1

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

단계 1.2

방정식의 양변에 $10 y$ 를 더합니다.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

단계 1.3

방정식의 양변에서 $25$ 를 뺍니다.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

단계 2

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3.1.2

$10$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$10 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

단계 2.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

단계 3

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

단계 3.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 3.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.3.2.2

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.2.2.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.3.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

단계 3.1.1.3.2.3

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

단계 3.1.1.3.2.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.2.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

단계 3.1.1.3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.2.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

단계 3.1.1.3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

단계 3.1.1.3.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

단계 3.1.1.3.2.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

단계 3.1.1.3.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.2.6.1

$- (1 \cdot 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

단계 3.1.1.3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

단계 3.1.1.3.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

단계 3.1.1.3.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$d = 5 \cdot - 1$

단계 3.1.1.3.2.8

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$d = - 5$

단계 3.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.2.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.2.1.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.4.2.1.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.4.2.1.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.4.2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

단계 3.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

단계 3.1.1.4.2.1.3

$- 4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

단계 3.1.1.4.2.1.4

$\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

단계 3.1.1.4.2.1.5

$- 1 \cdot \frac{25}{4}$ 을 $- \frac{25}{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

단계 3.1.1.4.2.1.6

$- - \frac{25}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.4.2.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

단계 3.1.1.4.2.1.6.2

$\frac{25}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

단계 3.1.1.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

단계 3.1.1.4.2.3

$- 25$ 를 $25$ 에 더합니다.

$e = \frac{0}{4}$

단계 3.1.1.4.2.4

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$e = 0$

단계 3.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ 에 대입합니다.

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

단계 3.1.2

$x$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

단계 3.2

표준형인 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

단계 3.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 왼쪽으로 열린 형태입니다.

왼쪽으로 열림

단계 3.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(0, 5)$

단계 3.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 3.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 3.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

단계 3.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

단계 3.5.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

단계 3.5.3.3

$4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 3.5.3.4

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{1}$

단계 3.5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 3.5.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 3.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우, 포물선의 초점은 x좌표 $h$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + p, k)$

단계 3.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 1, 5)$

단계 3.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$y = 5$

단계 3.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 x좌표 $h$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수직선입니다.

$x = h - p$

단계 3.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $h$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$x = 1$

단계 3.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(0, 5)$

초점: $(- 1, 5)$

대칭축: $y = 5$

준선: $x = 1$

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(0, 5)$

초점: $(- 1, 5)$

대칭축: $y = 5$

준선: $x = 1$

단계 4

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 값인 $- 2$ 를 $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 2, 7.82842712)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{2}$

단계 4.1.2.2

최종 답은 $5 + 2 \sqrt{2}$ 입니다.

$y = 5 + 2 \sqrt{2}$

단계 4.1.3

$5 + 2 \sqrt{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= 7.82842712$

단계 4.2

$x$ 값인 $- 2$ 를 $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 2, 2.17157287)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

단계 4.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{2}$

단계 4.2.2.2

최종 답은 $5 - 2 \sqrt{2}$ 입니다.

$y = 5 - 2 \sqrt{2}$

단계 4.2.3

$5 - 2 \sqrt{2}$ 를 소수로 변환합니다.

$= 2.17157287$

단계 4.3

$x$ 값인 $- 1$ 를 $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 1, 7)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{1}$

단계 4.3.2.1.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (- 1) = 5 + 2 \cdot 1$

단계 4.3.2.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 + 2$

단계 4.3.2.2

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 7$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $7$ 입니다.

$y = 7$

단계 4.3.3

$7$ 를 소수로 변환합니다.

$= 7$

단계 4.4

$x$ 값인 $- 1$ 를 $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 1, 3)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

단계 4.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{1}$

단계 4.4.2.1.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (- 1) = 5 - 2 \cdot 1$

단계 4.4.2.1.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 5 - 2$

단계 4.4.2.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = 3$

단계 4.4.2.3

최종 답은 $3$ 입니다.

$y = 3$

단계 4.4.3

$3$ 를 소수로 변환합니다.

$= 3$

단계 4.5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

단계 5

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 왼쪽으로 열림

꼭짓점: $(0, 5)$

초점: $(- 1, 5)$

대칭축: $y = 5$

준선: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

단계 6