기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

단계 1

무리수 그래프를 그리기 위해 $x$ 의 값을 선택하여 점들의 위치를 구합니다. 먼저, $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

단계 1.2.2

$4 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$4 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 + x = 0$

단계 1.2.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 1.2.3

$4 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$4 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 - x = 0$

단계 1.2.3.2

$4 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 1.2.3.2.2

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 1.2.4

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 4$

단계 1.2.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

단계 1.2.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 1.2.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

단계 1.2.6.1.3

좌변 $- 20$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.6.2

$- 4 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$- 4 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 1.2.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

단계 1.2.6.2.3

좌변 $16$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.6.3

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 1.2.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

단계 1.2.6.3.3

좌변 $- 20$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 1.2.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 \leq x \leq 4$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 4, 4]$

조건제시법:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

구간 표기:

$[- 4, 4]$

조건제시법:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

단계 2

끝점을 구하기 위해, 정의역에 속한 $x$ 값의 경계값을 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

단계 2.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

단계 2.2.4

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

단계 2.2.5

$0$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = \sqrt{0}$

단계 2.2.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

단계 2.2.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 4) = 0$

단계 2.2.8

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.3

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

단계 2.4

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

괄호를 제거합니다.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

단계 2.4.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

단계 2.4.4

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

단계 2.4.5

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (4) = \sqrt{0}$

단계 2.4.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (4) = 0$

단계 2.4.8

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3

끝점은 $(- 4, 0), (4, 0)$ 입니다.

$(- 4, 0), (4, 0)$

단계 4

정의역에서 여러 개의 $x$ 값을 선택합니다. 무리식 끝점의 $x$ 값에 가까운 값을 선택하는 것이 좋습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 값인 $- 3$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 3, \sqrt{7})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

단계 4.1.2.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

단계 4.1.2.3

$4 - (- 3)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

단계 4.1.2.5

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (- 3) = \sqrt{7}$

단계 4.1.2.6

최종 답은 $\sqrt{7}$ 입니다.

$y = \sqrt{7}$

단계 4.2

$x$ 값인 $- 2$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 2, 2 \sqrt{3})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

단계 4.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

단계 4.2.2.2

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

단계 4.2.2.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

단계 4.2.2.4

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

단계 4.2.2.5

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = \sqrt{12}$

단계 4.2.2.6

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.6.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

단계 4.2.2.6.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

단계 4.2.2.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

단계 4.2.2.8

최종 답은 $2 \sqrt{3}$ 입니다.

$y = 2 \sqrt{3}$

단계 4.3

$x$ 값인 $- 1$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 1, \sqrt{15})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

단계 4.3.2.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

단계 4.3.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

단계 4.3.2.4

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

단계 4.3.2.5

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = \sqrt{15}$

단계 4.3.2.6

최종 답은 $\sqrt{15}$ 입니다.

$y = \sqrt{15}$

단계 4.4

$x$ 값인 $0$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(0, 4)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

단계 4.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

단계 4.4.2.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

단계 4.4.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

단계 4.4.2.4

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

단계 4.4.2.5

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (0) = \sqrt{16}$

단계 4.4.2.6

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

단계 4.4.2.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (0) = 4$

단계 4.4.2.8

최종 답은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 4.5

$x$ 값인 $1$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(1, \sqrt{15})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

단계 4.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

단계 4.5.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

단계 4.5.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

단계 4.5.2.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

단계 4.5.2.5

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (1) = \sqrt{15}$

단계 4.5.2.6

최종 답은 $\sqrt{15}$ 입니다.

$y = \sqrt{15}$

단계 4.6

$x$ 값인 $2$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(2, 2 \sqrt{3})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

단계 4.6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

단계 4.6.2.2

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

단계 4.6.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

단계 4.6.2.4

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

단계 4.6.2.5

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = \sqrt{12}$

단계 4.6.2.6

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.2.6.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

단계 4.6.2.6.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

단계 4.6.2.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

단계 4.6.2.8

최종 답은 $2 \sqrt{3}$ 입니다.

$y = 2 \sqrt{3}$

단계 4.7

$x$ 값인 $3$ 를 $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(3, \sqrt{7})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

단계 4.7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

단계 4.7.2.2

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

단계 4.7.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

단계 4.7.2.4

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

단계 4.7.2.5

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (3) = \sqrt{7}$

단계 4.7.2.6

최종 답은 $\sqrt{7}$ 입니다.

$y = \sqrt{7}$

단계 4.8

제곱근 그래프는 꼭짓점 $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$ 주변의 점들을 이용하여 그릴 수 있습니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

단계 5