기초 미적분 예제

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

단계 1

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

다시 씁니다.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

단계 1.1.2

${(x - 3)}^{2}$ 을 $(x - 3) (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

단계 1.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

단계 1.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

단계 1.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

단계 1.1.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

단계 1.1.4.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

단계 1.1.4.2

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

단계 1.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.2.2

$- 6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.3

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

단계 1.1.6.4

$- \frac{1}{2} \cdot 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.4.1

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

단계 1.1.6.4.2

$- 9$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

단계 1.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

단계 1.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.3

$5$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

단계 1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

단계 1.2.5.2

$- 9$ 를 $10$ 에 더합니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

단계 2

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

단계 2.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

단계 2.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

단계 2.1.1.3.2.1.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

단계 2.1.1.3.2.2

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$d = \frac{3}{- 1}$

단계 2.1.1.3.2.3

$3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$d = - 3$

단계 2.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

단계 2.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

단계 2.1.1.4.2.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

단계 2.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

단계 2.1.1.4.2.1.3

$- 4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

단계 2.1.1.4.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

단계 2.1.1.4.2.1.5

$- - \frac{9}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.2.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

단계 2.1.1.4.2.1.5.2

$\frac{9}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

단계 2.1.1.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

단계 2.1.1.4.2.3

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$e = \frac{10}{2}$

단계 2.1.1.4.2.4

$10$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$e = 5$

단계 2.1.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ 에 대입합니다.

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

단계 2.1.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

단계 2.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

단계 2.3

$a$ 값이 음수이므로 이 포물선은 아래로 열린 형태입니다.

아래로 열림

단계 2.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(3, 5)$

단계 2.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 2.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

단계 2.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

단계 2.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

단계 2.5.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

단계 2.5.3.3

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 2.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 2.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(3, \frac{9}{2})$

단계 2.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = 3$

단계 2.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 2.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = \frac{11}{2}$

단계 2.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(3, 5)$

초점: $(3, \frac{9}{2})$

대칭축: $x = 3$

준선: $y = \frac{11}{2}$

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(3, 5)$

초점: $(3, \frac{9}{2})$

대칭축: $x = 3$

준선: $y = \frac{11}{2}$

단계 3

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

단계 3.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

단계 3.2.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

단계 3.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

단계 3.2.4.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f (1) = 3 + 0$

단계 3.2.5

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (1) = 3$

단계 3.2.6

최종 답은 $3$ 입니다.

$3$

단계 3.3

$x = 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $3$ 입니다.

$y = 3$

단계 3.4

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

단계 3.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

단계 3.5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

단계 3.5.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

단계 3.5.3

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

단계 3.5.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

단계 3.5.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

단계 3.5.5

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

단계 3.5.6

$6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

단계 3.5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

단계 3.5.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.8.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

단계 3.5.8.2

$12$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (2) = \frac{9}{2}$

단계 3.5.9

최종 답은 $\frac{9}{2}$ 입니다.

$\frac{9}{2}$

단계 3.6

$x = 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $\frac{9}{2}$ 입니다.

$y = \frac{9}{2}$

단계 3.7

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

단계 3.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

단계 3.8.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

단계 3.8.2.2

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

단계 3.8.3

$- 25$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

단계 3.8.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

단계 3.8.4.2

$- 24$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f (5) = 15 - 12$

단계 3.8.5

$15$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (5) = 3$

단계 3.8.6

최종 답은 $3$ 입니다.

$3$

단계 3.9

$x = 5$ 일 때 $y$ 의 값은 $3$ 입니다.

$y = 3$

단계 3.10

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

단계 3.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

단계 3.11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

단계 3.11.2.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

단계 3.11.3

$- 16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

단계 3.11.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.4.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

단계 3.11.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

단계 3.11.5

공통 분모를 가지는 분수로 $12$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

단계 3.11.6

$12$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

단계 3.11.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

단계 3.11.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.8.1

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

단계 3.11.8.2

$24$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$f (4) = \frac{9}{2}$

단계 3.11.9

최종 답은 $\frac{9}{2}$ 입니다.

$\frac{9}{2}$

단계 3.12

$x = 4$ 일 때 $y$ 의 값은 $\frac{9}{2}$ 입니다.

$y = \frac{9}{2}$

단계 3.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

단계 4

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 아래로 열림

꼭짓점: $(3, 5)$

초점: $(3, \frac{9}{2})$

대칭축: $x = 3$

준선: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

단계 5