기초 미적분 예제

$y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$

단계 1

점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

모든 $y = \tan (x)$ 에 대하여 수직점근선은 $n$ 가 정수일 때 $x = \frac{π}{2} + n π$ 에서 나타납니다. $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ 의 수직점근선을 구하려면 $y = \tan (x)$ 의 기본 주기인 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 를 이용합니다. $y = a \tan (b x + c) + d$ 에서 탄젠트 함수 안의 $b x + c$ 가 $- \frac{π}{2}$ 이 되도록 하여 $y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ 의 수직점근선의 위치를 구합니다.

$2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2}$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$2 x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

단계 1.2.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

단계 1.2.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.3.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

단계 1.2.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = - \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

단계 1.2.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{- π \cdot 2 - π}{4}$

단계 1.2.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{- 2 π - π}{4}$

단계 1.2.1.5.2

$- 2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{- 3 π}{4}$

단계 1.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x = - \frac{3 π}{4}$

단계 1.2.2

$2 x = - \frac{3 π}{4}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 x = - \frac{3 π}{4}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \frac{3 π}{4}}{2}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.3.2

$- \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3 π}{4}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.2.3.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{3 π}{8}$

단계 1.3

탄젠트 함수 안의 $2 x + \frac{π}{4}$ 를 $\frac{π}{2}$ 이 되도록 합니다.

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

단계 1.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$2 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

단계 1.4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

단계 1.4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.3.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

단계 1.4.1.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

단계 1.4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

단계 1.4.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.4.1.5.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

단계 1.4.1.5.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$2 x = \frac{π}{4}$

단계 1.4.2

$2 x = \frac{π}{4}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$2 x = \frac{π}{4}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

단계 1.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

단계 1.4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

단계 1.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.4.2.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.3.2.1

$\frac{π}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

단계 1.4.2.3.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{8}$

단계 1.5

$y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ 의 기본 주기 구간은 $(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$ 이며 $- \frac{3 π}{8}$ 와 $\frac{π}{8}$ 는 수직점근선입니다.

$(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$

단계 1.6

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{π}{2}$

단계 1.7

$y = \tan (2 x + \frac{π}{4})$ 의 수직점근선은 $n$ 이 정수일 때 $- \frac{3 π}{8}$ , $\frac{π}{8}$ 과 매 $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 마다 존재합니다.

$x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

단계 1.8

탄젠트는 수직점근선만을 가집니다.

수평점근선 없음

사선점근선 없음

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

수평점근선 없음

사선점근선 없음

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

단계 2

$a \tan (b x - c) + d$ 형태를 이용해 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 이동을 구하는 데 사용되는 변수들을 찾습니다.

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

단계 3

함수 $t a n$ 의 그래프가 최댓값 혹은 최솟값을 가지지 않으므로 진폭값이 존재하지 않습니다.

진폭: 없음

단계 4

$\tan (2 x + \frac{π}{4})$ 주기를 구합니다.

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단계 4.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 4.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 2 |}$

단계 4.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{π}{2}$

단계 5

$\frac{c}{b}$ 공식을 이용하여 위상차를 구합니다.

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단계 5.1

함수의 위상 이동은 $\frac{c}{b}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

위상 변이: $\frac{c}{b}$

단계 5.2

$c$ 와 $b$ 의 값을 위상 변이 방정식에 대입합니다.

위상 변이: $\frac{- \frac{π}{4}}{2}$

단계 5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

위상 변이: $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

단계 5.4

$- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

위상 변이: $- \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 5.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

위상 변이: $- \frac{π}{8}$

단계 6

삼각함수의 성질을 나열합니다.

진폭: 없음

주기: $\frac{π}{2}$

위상 변이: $- \frac{π}{8}$ (왼쪽으로 $\frac{π}{8}$ )

수직 이동: 없음

단계 7

삼각함수의 그래프는 진폭, 주기, 위상 변화, 수직 이동, 점들을 이용하여 그릴 수 있습니다.

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$

진폭: 없음

주기: $\frac{π}{2}$

위상 변이: $- \frac{π}{8}$ (왼쪽으로 $\frac{π}{8}$ )

수직 이동: 없음

단계 8