기초 미적분 예제

$p (x) = (x - 1) (x + 2)$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$(x - 1) (x + 2)$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (x + 2) - 1 (x + 2)$

단계 1.1.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

단계 1.1.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

단계 1.1.1.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

단계 1.1.1.1.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

단계 1.1.1.1.2.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

단계 1.1.1.1.2.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 2 x - x - 2$

단계 1.1.1.1.2.2

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} + x - 2$

단계 1.1.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 1$

$c = - 2$

단계 1.1.1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 1.1.1.4.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 1.1.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{1}{2}$

단계 1.1.1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - 2 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.1.1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = - 2 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 1.1.1.5.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = - 2 - \frac{1}{4}$

단계 1.1.1.5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

단계 1.1.1.5.2.3

$- 2$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

단계 1.1.1.5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 - 1}{4}$

단계 1.1.1.5.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.2.5.1

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = \frac{- 8 - 1}{4}$

단계 1.1.1.5.2.5.2

$- 8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = \frac{- 9}{4}$

단계 1.1.1.5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = - \frac{9}{4}$

단계 1.1.1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 에 대입합니다.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

단계 1.1.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

단계 1.2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = - \frac{9}{4}$

단계 1.3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 1.4

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4}$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- \frac{1}{2}, - 2)$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - \frac{5}{2}$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

초점: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

대칭축: $x = - \frac{1}{2}$

준선: $y = - \frac{5}{2}$

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

초점: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

대칭축: $x = - \frac{1}{2}$

준선: $y = - \frac{5}{2}$

단계 2

여러 $x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는 $y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의 $x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = ((- 1) - 1) ((- 1) + 2)$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 2 ((- 1) + 2)$

단계 2.2.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 1) = - 2 \cdot 1$

단계 2.2.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = - 2$

단계 2.2.4

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 2.3

$x = - 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 2.4

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = ((- 2) - 1) ((- 2) + 2)$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 3 ((- 2) + 2)$

단계 2.5.2

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 3 \cdot 0$

단계 2.5.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 0$

단계 2.5.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.6

$x = - 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 2.7

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) + 2)$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = 0 ((1) + 2)$

단계 2.8.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = 0 \cdot 3$

단계 2.8.3

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (1) = 0$

단계 2.8.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.9

$x = 1$ 일 때 $y$ 의 값은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 2.10

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = ((2) - 1) ((2) + 2)$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (2) = 1 ((2) + 2)$

단계 2.11.2

$(2) + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (2) = (2) + 2$

단계 2.11.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (2) = 4$

단계 2.11.4

최종 답은 $4$ 입니다.

$4$

단계 2.12

$x = 2$ 일 때 $y$ 의 값은 $4$ 입니다.

$y = 4$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- \frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

초점: $(- \frac{1}{2}, - 2)$

대칭축: $x = - \frac{1}{2}$

준선: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & - \frac{9}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}$

단계 4